Công thức Moa - vrơ và ứng dụng. Chủ đề 5. Khối đa diện Các kiến thức cơ bản cần nhớ: 1. Khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện. 2.
Xác suất này được tính sẵn trong bảng giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông (Phụ lục 5) với λ = np. (b) Xấp xỉ chuẩn (định lý giới hạn địa phương Moa-vrơ-Láp-la-xơ): Nếu n lớn nhưng p không quá bé và quá lớn ta có xấp xỉ trong đó là hàm Gao-xơ với các giá trị được tính trong bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1) đối với các giá trị x dương.
Giáo án lớp 12 môn Toán - Tiết 75, 76 - Bài 6: Công thức moa - vrơ I/Mục tiêu: - Kiến thức: Nắm vững dạng lượng giác của số phức, từ đó nắm vững cách tính tích, nghịch đảo, thương của hai số phức cho trước dưới dạng lượng giác, nắm vững công thức Moa - vrơ và ứng dụng của nó.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC Gv: Nguyễn Văn Loan - Ôn thi cấp tốc - Năm học 2010 - 2011- Trang 16 Bài 21. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết: a. = 2 5i b. = 2 i 3 c. = 3 - 2i Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần
TÊN BÀI HỌC: ChươngIV §3 Giáo án đại số 12: LUYỆN TẬP: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Số tiết: VÀ ỨNG 1 DỤNG I/ Mục tiêu : + Về kiến thức : Giúp học sinh củng cố kiến thức: Acgumen của số phức; dạng lượng giác của số phức; công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác; công thức Moa-vrơ) + Về
IYxc9. Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi thêm + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phứcPhương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rc{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right + i \sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right$ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right.$2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right} \right.$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right.$ [ads] Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right.$Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$
I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh- Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức- Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức- Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác- Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó+ Về kĩ năng - Biết tìm acgumen của số phức- Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức- Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác- Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a + Về tư duy và thái độ- Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức- Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn- Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập Bạn đang xem tài liệu "Giáo án Tiết 79-80 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênNgày soạn 07/04/2009 Tiết 79-80 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG I/ Mục tiêu + Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó + Về kĩ năng Biết tìm acgumen của số phức Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a + Về tư duy và thái độ Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức Biết qui lạ về quen trong tính toán - Thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập II/ Chuẩn bị + Giáo viên Máy tính cầm tay + Bảng phụ vẽ các hình biểu diễn số phức. + Học sinh Xem trước bài dạy và chuẩn bị các câu hỏi cần thiết. Chuẩn bị MTCT III/ Phương pháp Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề đan xen hoạt động nhóm. IV/ Tiến trình 1/ Ổn định tổ chức Kiểm danh , kiểm tra tác phong học sinh 2/ Kiểm tra bài cũ 5 phút Câu hỏi Giải phương trình bậc 2 sau trên C z2 + 2z + 5 = 0 1 Gọi 1 học sinh lên bảng giải; cả lớp theo dõi. 1 z + 12 = - 4 . Vậy z = - 1 2i Cho 1 học sinh nhận xét. Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa và đánh giá cho điểm. 3/Bài mới Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng T1 HĐ1 Số phức dưới dạng lương giác 15’ HĐ1 Acgumen của số phức z0 - Nêu định nghĩa 1 H1? Số phức z0 có bao nhiêu acgumen ? Quan sát hình vẽ ở bảng phụ. Tiếp thu định nghĩa. 1/Một học sinh quan sát trên hình vẽ nhận xét trả lời. là 1acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng + k2. 1/ Số phức dưới dạng lượng giác a/ Acgumen của số phức z0 ĐN 1 Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mp phức biểu diễn số phức z. Số đo rad của mỗi góc lượng giác tia đầu 0x,tia cuối 0M được gọi là một acgumen của z Nêu VD1SGK a/ Tìm acgumen của số thực dương tùy ý. b/ Tìm acgumen của số thực âm tùy ý. c/ Tìm acgumen của số 3i, -2i, 1 + i. Dùng hình vẽ minh họa và giải thích. HĐ2 Cho HS giải Biết số phức z 0 có 1acgumen ; Hãy tìm 1 acgumen của mỗi số phức sau ;. Gợi ý Dùng biểu diễn hình học của số phức để tìm acgumen của nó. 1 HS trả lời a/ Một acgumen là = 0 b/ Một acgumen là = 1 học sinh trả lời c/ . Cho 2 HS đứng tại chỗ trả lời HS 1 z biểu diễn bởi thì –z bởi -nên có acgumen là HS 2 - có - có cùng acgumen với Chú ý SGK Tóm tắt lời giải VD1 Tóm tắt lời giải của HĐ2 20’ HĐ2 Dạng lượng giác của số phức . HĐ1 Từ hình vẽ giáo viên dẫn dắt đến định nghĩa 2 H? Để tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi khác 0 ta cần làm những bước nào? Nêu VĐ2 SGK Cho cả lớp giải sau đó gọi từng HS trả lời. Gợi ý Tìm r,. Nêu chú ý SGK Nêu VĐ3 SGK Hướng dẫn đọc VĐ3 HS tiếp thu ĐN2 HS trả lời a/ Tìm r , r = 2/ Tìm thỏa 1 HS đứng tại chỗ giải số 2 2cos 0 + i sin 0 số -2 2 số i số 1 + i số 1 - 2 b/ Dạng lượng giác của số phức z = rcos, trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z dạng z = a + bia,bR được gọi là dạng đại số của số phức z Tóm tắt các bước tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi 1/ Tìm r 2/ Tìm Tóm tắt lời giải VD2 HĐ2 Cho z = rcos +isin r > 0. Tìm môđun và acgumen của từ đó suy ra dạng lượng giác của Cả lớp giải theo nhóm. 1 nhóm đại diện trình bày Tóm tắt lời giải hoạt động 2. 5’ HĐ3 Củng cố T1 H1 acgumen của số phức H2 Dạng LG của z H3 Nêu các bước biễu diễn số phức z = a + bi Vậy = gọi 3 HS trả lời TI ẾT 2 T2 HĐ 3 Nhân và chia số phức dưới dạng LG 15’ Từ HĐ2 ĐL hướng dẫn HS c/m ĐL tìm = ? HĐ2 Nêu vd4 Tìm H? Thực hiện phép chia này dưới dạng đại số HS tiếp thu ĐL 1HS đúng tại chỗ giải 1+i = + i = 2 = 2/ Nhân và chia số phức dưới dạng LG ĐL sgk Tóm tắt lời giải vd4 15’ HĐ4 Công thức Moa-vrơ và ứng dụng HĐ1 Nêu công thức Moa- vrơ HĐ2 Nêu vd5 Tính 1+i5 HD giải HĐ3 Nêu ứng dụng H1 khai triển cos + i sin3 H2 công thức Moa -vrơ H3 từ đó suy ra , HĐ4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Tính căn bậc hai của Z = rcos + i sin với r > 0 HS tiếp thu công thức 1HS giải 1+i5 = 5 = 5 =4- = - 4 1 + i HS1 Trả lời HS2 Trả lời HS3 Đi đến KL 1 HS trả lời Và - = 3/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng a/Công thức Moa- vrơSGK rcosn= rncosn+isinn Xét khi r = 1 b/ứng dụng và lời giải c/Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 5’ HĐ5 củng cố T2 + Nêu các phép toán nhân chia của số phức dưới dạng LG + Nêu CT Moa – vrơ + Tính + i 6 1 HS tính = [2cos ]6 =26cos+ isin = - 26 4 Củng cố toàn bài 10’ cho 4 nhóm làm mỗi nhóm 1 câu trong 5’ - Đại diện từng nhóm trả lời Câu 1 Tìm acgumen của số phức z = 1 + i KQ 1 acgumen là = Câu 2 Tìm dạng LG của só phức z = 1 + i KQ z = Câu 3 tính 1 - i 1+i KQ Câu 4 Tính KQ - 5 Hướng dẫn Sử dụng máy tính chuyển từ dạng đại số sang dạng LG của số phức . Đọc chú ý trang 206/ SGK Bài tập về nhà 32 đến 36 trang 207 Phụ lục Bảng phụ cho hình vẽ , , , sgk Tài liệu đính kèmTIET 79-80 dang lg so phuc va ung
cosϕ + = cosnϕ + dụng vào lượng giác Ta cócosϕ + = cos3ϕ + khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta đượccosϕ + = cos3ϕ + 3cos2ϕ. + 3cosϕ. + đó, suy racos3ϕ = cos3ϕ − = 4cos3ϕ − 3cosϕ,sin3ϕ = − sin3ϕ = 3sinϕ − bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Số phức z = rcosϕ + r > 0 cóhai căn bậc hai là ϕϕϕϕϕϕr cos + ÷ và − r cos + ÷ = r cos + π ÷+ + π ÷ .22222 2B PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUANĐ1. SỐ PHỨCD¹ng to¸n 1Số phức và thuộc tính của nóPhương phápVới số phức z = a + bi, các dạng câu hỏi thường được đặt ra làDạng 1 Xác định phần thực và phần ảo của số phức z. Khi đó, ta có ngay Phần thực bằng a. Phần ảo bằng ý Một câu hỏi ngược là "Khi nào số phức a + bi là số thực, số ảo hoặc bằng 0",khi đó ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 2 Hãy biểu diễn hình học số phức zKhi đó, ta sử dụng điểm Ma; b để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng ý Một câu hỏi ngược là "Xác định số phức được biểu diễn bới điểm Ma; b", khiđó ta có ngay số z = a + 3 Tính mơđun của số phức z, khi đó, ta có ngay z = a2 + b2 .Dạng 4 Tìm số đối của số phức z, khi đó, ta có ngay −z = −a − 5 Tìm số phức liên hợp của z, khi đó, ta có ngay z = a − định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc toạ độO trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số −i. GiảiGiả sử tam giác đều ABC như trong hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài, khi đó giảsử đỉnh A0; −1 biểu diễn số phức − a 3Gọi a là độ dài cạnh ABC, ta có .= AO = 1 ⇔ a = 2Từ đó suy ray3 131; ÷ Đỉnh B −BC÷ là số phức z B = − 2 + 2 i. 2 2Ox 3 13 1; ÷ Đỉnh C làsốphứczC =+ i.÷2 2−1 A 2 2Dạng 6 Tìm số phức nghịch đảo của z, khi đó, ta có ngay z−1 =D¹ng to¸n 2Phương phápCác phép tốn về số phức Sử dụng định nghĩa cùng với tính chất của các phép tốn cộng, trừ nhân, chia trêntập số ta có các hằng đẳng thức a + bi a − bi = .a2 + b2 = a2 − bi2 = 14 2 + bi2 = a2 − b2 + 2abi;a − bi2 = a2 − b2 − 2abi.a + bi3= a3 − 3a + 3a2b − b3i; a − bi3= a3 + 3a − 3a2b + b3 phần thực phần ảo của số phức z = x + iy2 – 2x + iy + 5 với x, y ∈ ¡ .Với x, ynào thì số phức đó là số thực ? Giảia. Ta biến đổiz = x2 + 2xyi − y2 – 2x + 2yi + 5 = x2 − y2 − 2x + 5 + 2yx − 1 nó có phần thực bằng x2 − y2 − 2x + 5 và phần ảo bằng 2yx − 1.b. Số phức đã cho là số thực điều kiện là2yx − 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc y = 2i 1− i+Tìm phần thực phần ảo và mơđun của số phức z =.1− i 3− 2i GiảiTa có thể trình bày theo hai cách sauCách 1 Ta biến đổi3+ 2i1+ i 1− i3 + 2i1+ 5i 5 − i23 63+++ 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà môđun 2 Ta biến đổi3+ 2i3− 2i + 1− i213− 2i13− 2i1+ 5iz===1− i3− 2i1− 5i26123 6323+ 63i =+ i.=2626 2623634498Vậy nó có phần thực bằng, phần ảo bằngvà mơđun điểm biểu diễn các số phức saua. z =2+ i2+22−i .b. z =2+ i −3 Giảia. Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổiz=2+ i2+2−i2= 2 + 2i 2 + i2 + 2 − 2i 2 + i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i2+ i22+2−i2−i22= 2 +i+2 – i2 − 2 2 + i 2 – i= 8 − 22 − i2 = điểm M2; 0 biểu diễn số phức 3 Ta biến đổiz=+= 2 + i − 2 + i2 + 2 2 + i2 – i= 4i + 22 − i = điểm M2; 0 biểu diễn số phức Ta có thể trình bày theo các cách sauCách 1 Ta biến đổi2z=2 332 + i − 2 − i = 2 2 + 6i + 3i 2 2 + i3 − 2 2 − 6i + 3i 2 2 − i3= 12i + 2i3 = 12i − 2i = 10i.32−i . Vậy, điểm N0; 10 biểu diễn số phức 2 Ta biến đổiz=2+ i −32− i3= 2 + i – 2 + i3 + 3 2 + i 2 – i 2 + i –= 8i3 + 6i2 − i2 = −8i + 18i = điểm N0; 10 biểu diễn s phc toán 32 + iChng minh tich cht của số phứcPhương phápSử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của minh rằng phần thực của số phức z bằng z + z , phần ảo của số phức z bằng21z – z .2i GiảiVới số phức z = a + bi a, b∈ ¡ , ta có111z + z = a + bi + a + bi = a + bi + a − bi = a − là phần thực của – z = a + bi − a + bi −i = b − là phần ảo của A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z ≠ 0 và z' =Chứng minh rằng OAB là vuông cân O là gốc toạ độ.1+ GiảiTa lần lượt cóuuurOA = OA = z ,uuur1+ i1+ iz =z = 2 z ,OB = OB =222uuuruuur uuur1+ i−1+ iz− z =z = 2 z .AB = AB = OB − OA =222Từ đó, suy ra OB = AB và22 2 2 OB + AB = z +z = z 2 = OA2 ⇔ OAB là vuụng cõn ti B. 2 ữữ 2 ữữ 22Dạng to¸n 4Tập hợp điểmPhương phápCâu hỏi thường được đặt ra là "Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểudiễn các số phức z thỏa mãn điều kiện K".Khi đóDạng 1 Số phức z thỏa mãn biểu thức về độ dài mơđun. Khi đó, ta sử dụng cơngthức z = a2 + b2 .Dạng 2 Số phức z là số thực thực âm hoặc thực dương, số ảo. Khi đó, ta sử dụng kếtquảa. Để z là số thực điều kiện là b = Để z là số thực âm điều kiện làa 0.b = 0d. Để z là số ảo điều kiện là a = 0. Chú ý Để tăng độ khó cho yêu cầu về tập hợp điểm, bài toán thường được cho dướidạng một biểu thức định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z2a. Là số Là số thực Là số thực Có mơđun bằng 1. GiảiVới số phức z = x + yi x, y∈ ¡ , ta cóz2 = x + yi2 = x2 − y2 + Để z2 là số ảo điều kiện làx − y = 0x2 − y2 = 0 ⇔ x − yx + y = 0 ⇔ .x + y = 0Vậy, tập hợp điểm các điểm M thuộc hai đường phân giác của góc giữa trục thực,trục Để z2 là số thực dương điều kiện là x2 − y2 > 0x ≠ 0⇔.y = 0 xy = 0Vậy, tập hợp điểm M thuộc trục Ox trục thực trừ gốc Để z2 là số thực âm điều kiện là x2 − y2 3và sinϕ =⇒ chọn ϕ = .232ππTừ đó, suy ra z = 2 cos + ÷ và khi đó33 πππ π z = 2 cos − ÷ = 2 cos − ÷+ − ÷ ;33 3 3ππππ4π4π –z = −2 cos + ÷ = 2 − cos − ÷ = 2 cos + ÷;33333311 ππ1ππ1z = .2 cos + ÷ = cos + ÷;=4 33233 ππnÕuk > 02k cos 3 + 3 ÷ kz = . −2k cos4π + 4π nÕuk 0 và là ϕ + π nếu k 0 krcosϕ + = . − kr[cosϕ + π + + π] nÕuk < 0Cho hai số phức z1 = 1 + i và z 2 = 3 + i .a. Tìm dạng lượng giác của z1, Sử dụng kết quả trong a tính z1z 2 , z .2 Giảia. Ta lần lượt có1 1ππ+i ÷ = 2 cos + ÷ ,z1 = 1 + i = 2 442 2 3 1 ππ+ i÷= 2 cos + ÷.z 2 = 3 + i = 2 ÷66 2 2 b. Ta lần lượt có π π5π5π π π z1z 2 = cos + ÷+ + ÷ = 2 2 cos + ÷ ,1212 4 6 4 6z12 π π2ππ π π =cos − ÷+ − ÷ =cos + ÷.z22 4 62 1212 4 6 Chú ý Nếu thực hiện các phép tốn trên dưới dạng đại sốa. Ta có 3 − 1 + 3 − 1 3 + 1 2+iz1z 2 = 1 + i=23 +i =3 +1 i 2 22 2 3 −15π 3 + 15π= cos ,= sin .từ đó, suy ra12122 22 2b. Ta có 1 + i 3 − i 1 z11+ i===z2443+i= 3 +1 + i 2 3 −12 2 3 +1+2 44từ đó, suy ra24 = cos π , 2 3 +1123 −1 i = sin π .3 −1412
Sau đây Kiến thức Số phức xin thu thập lại các sĩ tử về Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức, thông tin được tham khảo từ nhiều nguồn, Nếu bạn thấy hay hoặc cần thông tin gì vui lòng để lại comment bình luậnBài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ Moivre để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi thêm + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phứcPhương pháp1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa $w^2 = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z ne 0$ và $z = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rcrm{os}theta + i sin theta $ với $R > 0$ thì ${rm{w}^2} = z$ ⇔ $R^2crm{os}2theta + i sin 2theta = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R^2 = r\ 2theta = varphi + k2pi , k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R = sqrt r \ theta = fracvarphi 2 + kpi , k in Z endarray right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rcrm{os}varphi + isin varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${rm{w}_1} = sqrt r left c{rm{os}fracvarphi 2 + isin fracvarphi 2} right$ và ${rm{w}_2} = sqrt r left c{rm{os}left frac{varphi 2 + pi } right + i sin left frac{varphi 2 + pi } right} right$ $ = – sqrt r left c{rm{os}fracvarphi 2 + isin fracvarphi 2} right.$2. Tính căn bậc $n$ của số phứcCăn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa $w^n = z$. Với $z ne 0$ và $z = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rcrm{os}theta + i sin theta $ với $R > 0$ thì ${rm{w}^n} = z Leftrightarrow R^ncrm{osn}theta + i mathop{rm sinnnolimits} theta $ $ = rcrm{os}varphi + i sin varphi $ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R^n = r\ ntheta = varphi + k2pi , k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl R = sqrt[n]r\ theta = fracvarphi n + frac{k2pi }n, k in Z endarray right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là $w_1 = sqrt[n]rleft cos frac{varphi n + isin fracvarphi n} right.$ $w_2$ = $sqrt[n]rleft cos left {frac{varphi n + frac{2pi }n} right + isin left frac{varphi n + frac{2pi }n} right} right.$ ….. $w_n$ = $sqrt[n]rcos left frac{varphi n + frac{2pi n – 1}n} right$ $ + isin left frac{varphi n + frac{2pi n – 1}n} right.$adsbygoogle = [].push;Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $rm{w} = frac12 + frac{sqrt 3 }2i.$Ta có $w = frac12 + frac{sqrt 3 }2i = cos fracpi 3 + isin fracpi 3.$ Đặt $z = rleft cos varphi + isin varphi right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có $z^2 = w$ ⇔ $r^2left cos 2varphi + isin 2varphi right$ $ = cos fracpi 3 + isin fracpi 3$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl r = 1\ 2varphi = fracpi 3 + k2pi ,k in Z endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl r = 1\ varphi = fracpi 6 + kpi ,k in Z endarray right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là $z_1 = cos fracpi 6 + isin fracpi 6$ và $z_2 = cos frac{7pi }6 + isin frac{7pi }6.$Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + isqrt 3 .$Ta có $w = – 1 + isqrt 3 = 2left – frac{12 + ifrac{sqrt 3 }2} right$ $ = 2left cos frac{{2pi }3 + isin frac{2pi }3} right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $theta = frac{2pi }3.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = sqrt[3]2$ và một acgumen $phi = fractheta 3 + frac{k2pi }3 = frac{2pi }9 + frac{k2pi }3,k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $varphi $ có ba giá trị $varphi _1 = frac{2pi }9$, $varphi _2 = frac{2pi }9 + frac{2pi }3 = frac{8pi }9$, $varphi _3 = frac{2pi }9 + frac{4pi }3 = frac{14pi }9.$ Vậy $w = – 1 + isqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là $z_1 = sqrt[3]2left cos frac{{2pi }9 + isin frac{2pi }9} right$, $z_2 = sqrt[3]2left cos frac{{8pi }9 + isin frac{8pi }9} right$, $z_3 = sqrt[3]2left cos frac{{14pi }9 + isin frac{14pi }9} right.$Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$Ta có $w = i = cos fracpi 2 + isin fracpi 2$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $theta = fracpi 2.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $varphi = fractheta 4 + frac{k2pi }4 = fracpi 8 + frac{kpi }2,k in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $varphi$ $varphi _1 = fracpi 8$, $varphi _2 = fracpi 8 + fracpi 2 = frac{5pi }8$, $varphi _3 = fracpi 8 + pi = frac{9pi }8$, $varphi _4 = fracpi 8 + frac{3pi }2 = frac{13pi }8.$
No verbo moer ocorre a acentuação da vogal i tônica, a segunda vogal do hiato oi eu moí, eu moía, ele moía. Com a entrada em vigor do atual acordo ortográfico, a forma conjugada da pessoa do singular do presente do indicativo passou de eu môo para eu moo, sem acento gráfico. Gerúndio moendo Particípio passado moído Infinitivo moer Tipo de verbo regular Transitividade transitivo direto, pronominal e intransitivo Separação silábica mo-er Indicativo Presente eumootumóiselemóinósmoemosvósmoeiselesmoem Pretérito Imperfeito eumoíatumoíaselemoíanósmoíamosvósmoíeiselesmoíam Pretérito Perfeito eumoítumoesteelemoeunósmoemosvósmoesteselesmoeram Pretérito Mais-que-perfeito eumoeratumoeraselemoeranósmoêramosvósmoêreiselesmoeram Futuro do Presente eumoereitumoeráselemoeránósmoeremosvósmoereiselesmoerão Futuro do Pretérito eumoeriatumoeriaselemoerianósmoeríamosvósmoeríeiselesmoeriam Subjuntivo Presente que eu moaque tu moasque ele moaque nós moamosque vós moaisque eles moam Pretérito Imperfeito se eu moessese tu moessesse ele moessese nós moêssemosse vós moêsseisse eles moessem Futuro quando eu moerquando tu moeresquando ele moerquando nós moermosquando vós moerdesquando eles moerem Imperativo Imperativo Afirmativo -mói tumoa vocêmoamos nósmoei vósmoam vocês Imperativo Negativo -não moas tunão moa vocênão moamos nósnão moais vósnão moam vocês Infinitivo Infinitivo Pessoal por moer eupor moeres tupor moer elepor moermos nóspor moerdes vóspor moerem eles * As formas verbais destacadas são formas irregulares ou formas regulares que apresentam alguma particularidade gráfica. Conjugação com pronome oblíquo átono o Gerúndio moendo-o Indicativo Presente eumoo-otumói-loelemói-onósmoemo-lovósmoei-loelesmoem-no Pretérito Imperfeito eumoía-otumoía-loelemoía-onósmoíamo-lovósmoíei-loelesmoíam-no Pretérito Perfeito eumoí-otumoeste-oelemoeu-onósmoemo-lovósmoeste-loelesmoeram-no Pretérito Mais-que-perfeito eumoera-otumoera-loelemoera-onósmoêramo-lovósmoêrei-loelesmoeram-no Futuro do Presente eumoê-lo-eitumoê-lo-áselemoê-lo-ánósmoê-lo-emosvósmoê-lo-eiselesmoê-lo-ão Futuro do Pretérito eumoê-lo-iatumoê-lo-iaselemoê-lo-ianósmoê-lo-íamosvósmoê-lo-íeiselesmoê-lo-iam Subjuntivo Presente que eu o moaque tu o moasque ele o moaque nós o moamosque vós o moaisque eles o moam Pretérito Imperfeito se eu o moessese tu o moessesse ele o moessese nós o moêssemosse vós o moêsseisse eles o moessem Futuro quando eu o moerquando tu o moeresquando ele o moerquando nós o moermosquando vós o moerdesquando eles o moerem Imperativo Imperativo Afirmativo -mói-o tumoa-o vocêmoamo-lo nósmoei-o vósmoam-no vocês Imperativo Negativo -não o moas tunão o moa vocênão o moamos nósnão o moais vósnão o moam vocês Infinitivo Infinitivo Pessoal por o moer eupor o moeres tupor o moer elepor o moermos nóspor o moerdes vóspor o moerem eles Conjugação pronominal Gerúndio moendo-se Indicativo Presente eumoo-metumóis-teelemói-senósmoemo-nosvósmoeis-voselesmoem-se Pretérito Imperfeito eumoía-metumoías-teelemoía-senósmoíamo-nosvósmoíeis-voselesmoíam-se Pretérito Perfeito eumoí-metumoeste-teelemoeu-senósmoemo-nosvósmoestes-voselesmoeram-se Pretérito Mais-que-perfeito eumoera-metumoeras-teelemoera-senósmoêramo-nosvósmoêreis-voselesmoeram-se Futuro do Presente eumoer-me-eitumoer-te-áselemoer-se-ánósmoer-nos-emosvósmoer-vos-eiselesmoer-se-ão Futuro do Pretérito eumoer-me-iatumoer-te-iaselemoer-se-ianósmoer-nos-íamosvósmoer-vos-íeiselesmoer-se-iam Subjuntivo Presente que eu me moaque tu te moasque ele se moaque nós nos moamosque vós vos moaisque eles se moam Pretérito Imperfeito se eu me moessese tu te moessesse ele se moessese nós nos moêssemosse vós vos moêsseisse eles se moessem Futuro quando eu me moerquando tu te moeresquando ele se moerquando nós nos moermosquando vós vos moerdesquando eles se moerem Imperativo Imperativo Afirmativo -mói-te tumoa-se vocêmoamo-nos nósmoei-vos vósmoam-se vocês Imperativo Negativo -não te moas tunão se moa vocênão nos moamos nósnão vos moais vósnão se moam vocês Infinitivo Infinitivo Pessoal moer-me eumoeres-te tumoer-se elemoermo-nos nósmoerdes-vos vósmoerem-se eles Conteúdo revisto em setembro de 2019. Lexicógrafa responsável Flávia Neves
công thức moa vrơ
